Paradoxe avec le carré
Le paradoxe de la diagonale du carré
Mais quel est donc ce terrible secret dévoilé au monde par Hippase ?
L’harmonie des Sphères d’après l’école de Pythagore
Il est important de préciser que les Pythagoriciens recherchaient l’Harmonie du monde dans les nombres. Mais pas n’importe quels nombres : Les entiers positifs (1, 2, 3, 4 …), et les fractions, qui sont des rapports d’entiers entre eux. Les nombres négatifs n’existaient pas encore. Le monde des pythagoriciens n’était peuplé que de ce que l’on nomme aujourd’hui les « rationnels ».
Le scandale est arrivé par l’étude de la diagonale du carré. Si l’on prend le carré de coté 1, quelle est la mesure de sa diagonale ?
On trouve, d’après le théorème de Pythagore, que le carré de la diagonale D2= 2.
Voilà l’information capitale : un nombre, dont le carré est 2. Aucun entier, aucune fraction ne correspondait. Ce nombre existait-il ?
Les pythagoriciens firent alors la démonstration qu’un tel nombre n’existait pas, en utilisant la méthode par l’absurde, montrant qu’alors un nombre devrait être à la fois pair et impair, ce qui est impossible. Ainsi, les grandeurs du coté et de la diagonale d’un carré n’ont aucune commune mesure : si un nombre mesure l’un, aucun nombre ne peut mesurer l’autre, ils sont incommensurables. Pourtant, la figure arbore ces deux grandeurs, coté et diagonale, avec autant de « réalité ». Ceci ébranlait toute la pensée Pythagoricienne, et devait absolument rester secret.
Voilà la révélation qui couta à Hippase de Metaponte sa place parmi ses pairs, et peut-être la vie. Pour les penseurs grecs d’alors, cette démonstration recelait un abime dans lequel sombrèrent leurs certitudes. Le lien indicible entre nombre et grandeur qui établit la cohérence de l’univers pour les Pythagoriciens n’est plus. De plus, ce Chaos était provoqué par une figure emblématique du monde antique : le carré, et comble du comble, la démonstration utilisait 2 des principaux énoncés des pythagoriciens : le théorème de Pythagore, et la séparations des nombres en pairs et impairs !
Article paru chez http://geniorama.com/

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